3.190 \(\int \frac {\tanh ^6(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=144 \[ -\frac {\sqrt {a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (c+d x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 b^{5/2} d (a+b)^3}+\frac {a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 d (a+b)^2 \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}+\frac {a \tanh ^3(c+d x)}{4 b d (a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac {x}{(a+b)^3} \]

[Out]

x/(a+b)^3-1/8*(3*a^2+10*a*b+15*b^2)*arctan(b^(1/2)*tanh(d*x+c)/a^(1/2))*a^(1/2)/b^(5/2)/(a+b)^3/d+1/4*a*tanh(d
*x+c)^3/b/(a+b)/d/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2+1/8*a*(3*a+7*b)*tanh(d*x+c)/b^2/(a+b)^2/d/(a+b*tanh(d*x+c)^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.21, antiderivative size = 144, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3670, 470, 578, 522, 206, 205} \[ -\frac {\sqrt {a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (c+d x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 b^{5/2} d (a+b)^3}+\frac {a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 d (a+b)^2 \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}+\frac {a \tanh ^3(c+d x)}{4 b d (a+b) \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac {x}{(a+b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

x/(a + b)^3 - (Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*b^(5/2)*(a + b)^3
*d) + (a*Tanh[c + d*x]^3)/(4*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (a*(3*a + 7*b)*Tanh[c + d*x])/(8*b^2*(a
+ b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 470

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(a*e^(2
*n - 1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[e^(2
*n)/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1) +
(a*d*(m - n + n*q + 1) + b*c*n*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 578

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x
_Symbol] :> Simp[(g^(n - 1)*(b*e - a*f)*(g*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*n*(b*c -
a*d)*(p + 1)), x] - Dist[g^n/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(g*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*S
imp[c*(b*e - a*f)*(m - n + 1) + (d*(b*e - a*f)*(m + n*q + 1) - b*n*(c*f - d*e)*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; Fre
eQ[{a, b, c, d, e, f, g, q}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, 0]

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\tanh ^6(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3} \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x^6}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^3} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac {a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x^2 \left (3 a+(-3 a-4 b) x^2\right )}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{4 b (a+b) d}\\ &=\frac {a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac {a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 (a+b)^2 d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {a (3 a+7 b)+\left (-3 a^2-7 a b-8 b^2\right ) x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{8 b^2 (a+b)^2 d}\\ &=\frac {a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac {a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 (a+b)^2 d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{(a+b)^3 d}-\frac {\left (a \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{8 b^2 (a+b)^3 d}\\ &=\frac {x}{(a+b)^3}-\frac {\sqrt {a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (c+d x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 b^{5/2} (a+b)^3 d}+\frac {a \tanh ^3(c+d x)}{4 b (a+b) d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac {a (3 a+7 b) \tanh (c+d x)}{8 b^2 (a+b)^2 d \left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 1.29, size = 144, normalized size = 1.00 \[ \frac {-\frac {\sqrt {a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (c+d x)}{\sqrt {a}}\right )}{b^{5/2}}-\frac {4 a^2 (a+b) \sinh (2 (c+d x))}{b ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)^2}+\frac {3 a (a+b) (a+3 b) \sinh (2 (c+d x))}{b^2 ((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)}+8 (c+d x)}{8 d (a+b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(8*(c + d*x) - (Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/b^(5/2) - (4*a^2*(a
+ b)*Sinh[2*(c + d*x)])/(b*(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])^2) + (3*a*(a + b)*(a + 3*b)*Sinh[2*(c + d*x)])
/(b^2*(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])))/(8*(a + b)^3*d)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.58, size = 7528, normalized size = 52.28 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^8 + 128*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)*sinh
(d*x + c)^7 + 16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*sinh(d*x + c)^8 - 4*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*
(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^4 - 13*a^3*b
- a^2*b^2 + 9*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x
+ c)^3 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 4
*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(280*(a^2
*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^4 - 9*a^4 - 21*a^3*b + 9*a^2*b^2 - 27*a*b^3 + 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 +
3*b^4)*d*x - 15*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c
)^4 - 12*a^4 - 60*a^3*b - 84*a^2*b^2 - 36*a*b^3 + 16*(56*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^5 - 5*(3*
a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 +
27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)
*d*x - 4*(9*a^4 + 23*a^3*b - 13*a^2*b^2 - 27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(112*(a^2*b^2
+ 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^6 - 15*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cos
h(d*x + c)^4 - 9*a^4 - 23*a^3*b + 13*a^2*b^2 + 27*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x - 6*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2
*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + ((3*a^4 + 16*a^3*b +
38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^8 + 8*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(
d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(3*a^4 + 10
*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^
4 + 7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^4 + 16*
a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4
)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^4 +
16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4 + 30*(3*a
^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b
^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4 + 8*(7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(3*a^4
+ 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d
*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^4
+ 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 -
15*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4 + 3*(9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^
2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 8*((3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x
+ c)^7 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b
^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c
))*sqrt(-a/b)*log(((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 +
(a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^
2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 - 6*a*b + b^2 + 4*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 - b^2)*cosh
(d*x + c))*sinh(d*x + c) - 4*((a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + (a*b +
b^2)*sinh(d*x + c)^2 + a*b - b^2)*sqrt(-a/b))/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c
)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c
)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 8*(16*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 +
b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^7 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^5
- 2*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (9*a^4 +
23*a^3*b - 13*a^2*b^2 - 27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^5*b^2 + 5*a^4*b^
3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*
b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^
6 + b^7)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^6
+ 4*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b
^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*
b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7
)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*
x + c)^5 + 2*(35*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*(a^5*b
^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4
+ 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6
- b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c
)^5 + 10*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*
b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 +
10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 -
3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh
(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 5*
a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d + 8*((a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a
*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c
)^5 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b
^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)), 1/8*(8*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*
d*x*cosh(d*x + c)^8 + 64*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + 8*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 +
b^4)*d*x*sinh(d*x + c)^8 - 2*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 +
2*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^2 - 3*a^4 - 13*a^3*b - a^2*b^2 + 9*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b
^4)*d*x)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^3 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^
2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*
b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(280*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c
)^4 - 9*a^4 - 21*a^3*b + 9*a^2*b^2 - 27*a*b^3 + 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x - 15*(3*a^4 + 13*a^3*b + a
^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 - 6*a^4 - 30*a^3*b - 42*a^2*b^2 -
18*a*b^3 + 8*(56*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^5 - 5*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*
(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - (9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b
^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 8*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x - 2*(9*a^4 + 23*a^3*b - 13*a^2*b^2 -
27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(112*(a^2*b^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^6 - 1
5*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 - 9*a^4 - 23*a^3*b + 13*a^2*
b^2 + 27*a*b^3 + 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x - 6*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3
+ 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 - ((3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x
+ c)^8 + 8*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (3*a^4 + 16*a^
3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*
cosh(d*x + c)^6 + 4*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4 + 7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40
*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*c
osh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(9*a
^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(35*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^
4)*cosh(d*x + c)^4 + 9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4 + 30*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 1
5*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4 + 8*(7*(3*a^4 + 16
*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b
^4)*cosh(d*x + c)^3 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(3*a^4 + 10*
a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(7*(3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*
b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 3*a^4 + 10*a^3
*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4 + 3*(9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c
)^2 + 8*((3*a^4 + 16*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 40*a*b^3 + 15*b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(3*a^4 + 10*a^3*b + 12*a^2*b^
2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + (9*a^4 + 24*a^3*b + 34*a^2*b^2 + 45*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^4 + 1
0*a^3*b + 12*a^2*b^2 - 10*a*b^3 - 15*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*sqrt(a/b)*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x
+ c)^2 + 2*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + (a + b)*sinh(d*x + c)^2 + a - b)*sqrt(a/b)/a) + 4*(16*(a^2*b
^2 + 2*a*b^3 + b^4)*d*x*cosh(d*x + c)^7 - 3*(3*a^4 + 13*a^3*b + a^2*b^2 - 9*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*co
sh(d*x + c)^5 - 2*(9*a^4 + 21*a^3*b - 9*a^2*b^2 + 27*a*b^3 - 8*(3*a^2*b^2 - 2*a*b^3 + 3*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c
)^3 - (9*a^4 + 23*a^3*b - 13*a^2*b^2 - 27*a*b^3 - 16*(a^2*b^2 - b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^5*
b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^8 + 8*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3
*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^7 + (a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^
2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*c
osh(d*x + c)^6 + 4*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5
*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^
3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 +
5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(35*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)
^4 + 30*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b
^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*
b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + 8*(7*(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*
d*cosh(d*x + c)^5 + 10*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (3*a^
5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(7*(a^5*b^2
+ 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^6 + 15*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4
- 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 +
3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d)*sinh(d*x + c)^2 +
(a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d + 8*((a^5*b^2 + 5*a^4*b^3 + 10*a^3*b^4 + 10
*a^2*b^5 + 5*a*b^6 + b^7)*d*cosh(d*x + c)^7 + 3*(a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*
d*cosh(d*x + c)^5 + (3*a^5*b^2 + 7*a^4*b^3 + 6*a^3*b^4 + 6*a^2*b^5 + 7*a*b^6 + 3*b^7)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^5
*b^2 + 3*a^4*b^3 + 2*a^3*b^4 - 2*a^2*b^5 - 3*a*b^6 - b^7)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 0.60, size = 408, normalized size = 2.83 \[ -\frac {\frac {{\left (3 \, a^{3} + 10 \, a^{2} b + 15 \, a b^{2}\right )} \arctan \left (\frac {a e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + b e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a - b}{2 \, \sqrt {a b}}\right )}{{\left (a^{3} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{3} + 3 \, a b^{4} + b^{5}\right )} \sqrt {a b}} - \frac {8 \, {\left (d x + c\right )}}{a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}} + \frac {2 \, {\left (3 \, a^{4} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 13 \, a^{3} b e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + a^{2} b^{2} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} - 9 \, a b^{3} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 9 \, a^{4} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 21 \, a^{3} b e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} - 9 \, a^{2} b^{2} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 27 \, a b^{3} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 9 \, a^{4} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 23 \, a^{3} b e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 13 \, a^{2} b^{2} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 27 \, a b^{3} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + 3 \, a^{4} + 15 \, a^{3} b + 21 \, a^{2} b^{2} + 9 \, a b^{3}\right )}}{{\left (a^{3} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{3} + 3 \, a b^{4} + b^{5}\right )} {\left (a e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + b e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a + b\right )}^{2}}}{8 \, d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/8*((3*a^3 + 10*a^2*b + 15*a*b^2)*arctan(1/2*(a*e^(2*d*x + 2*c) + b*e^(2*d*x + 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/((a^
3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*sqrt(a*b)) - 8*(d*x + c)/(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3) + 2*(3*a^4*e^(6*d*
x + 6*c) + 13*a^3*b*e^(6*d*x + 6*c) + a^2*b^2*e^(6*d*x + 6*c) - 9*a*b^3*e^(6*d*x + 6*c) + 9*a^4*e^(4*d*x + 4*c
) + 21*a^3*b*e^(4*d*x + 4*c) - 9*a^2*b^2*e^(4*d*x + 4*c) + 27*a*b^3*e^(4*d*x + 4*c) + 9*a^4*e^(2*d*x + 2*c) +
23*a^3*b*e^(2*d*x + 2*c) - 13*a^2*b^2*e^(2*d*x + 2*c) - 27*a*b^3*e^(2*d*x + 2*c) + 3*a^4 + 15*a^3*b + 21*a^2*b
^2 + 9*a*b^3)/((a^3*b^2 + 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 + b^5)*(a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2
*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)^2))/d

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.10, size = 352, normalized size = 2.44 \[ -\frac {\ln \left (\tanh \left (d x +c \right )-1\right )}{2 d \left (a +b \right )^{3}}+\frac {\ln \left (1+\tanh \left (d x +c \right )\right )}{2 d \left (a +b \right )^{3}}+\frac {5 a^{3} \left (\tanh ^{3}\left (d x +c \right )\right )}{8 d \left (a +b \right )^{3} \left (a +b \left (\tanh ^{2}\left (d x +c \right )\right )\right )^{2} b}+\frac {7 a^{2} \left (\tanh ^{3}\left (d x +c \right )\right )}{4 d \left (a +b \right )^{3} \left (a +b \left (\tanh ^{2}\left (d x +c \right )\right )\right )^{2}}+\frac {9 a b \left (\tanh ^{3}\left (d x +c \right )\right )}{8 d \left (a +b \right )^{3} \left (a +b \left (\tanh ^{2}\left (d x +c \right )\right )\right )^{2}}+\frac {3 a^{4} \tanh \left (d x +c \right )}{8 d \left (a +b \right )^{3} \left (a +b \left (\tanh ^{2}\left (d x +c \right )\right )\right )^{2} b^{2}}+\frac {5 a^{3} \tanh \left (d x +c \right )}{4 d \left (a +b \right )^{3} \left (a +b \left (\tanh ^{2}\left (d x +c \right )\right )\right )^{2} b}+\frac {7 a^{2} \tanh \left (d x +c \right )}{8 d \left (a +b \right )^{3} \left (a +b \left (\tanh ^{2}\left (d x +c \right )\right )\right )^{2}}-\frac {3 a^{3} \arctan \left (\frac {\tanh \left (d x +c \right ) b}{\sqrt {a b}}\right )}{8 d \left (a +b \right )^{3} b^{2} \sqrt {a b}}-\frac {5 a^{2} \arctan \left (\frac {\tanh \left (d x +c \right ) b}{\sqrt {a b}}\right )}{4 d \left (a +b \right )^{3} b \sqrt {a b}}-\frac {15 a \arctan \left (\frac {\tanh \left (d x +c \right ) b}{\sqrt {a b}}\right )}{8 d \left (a +b \right )^{3} \sqrt {a b}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

-1/2/d/(a+b)^3*ln(tanh(d*x+c)-1)+1/2/d/(a+b)^3*ln(1+tanh(d*x+c))+5/8/d*a^3/(a+b)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2/b*tan
h(d*x+c)^3+7/4/d*a^2/(a+b)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2*tanh(d*x+c)^3+9/8/d*a/(a+b)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2*b*tanh(
d*x+c)^3+3/8/d*a^4/(a+b)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2/b^2*tanh(d*x+c)+5/4/d*a^3/(a+b)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2/b*tan
h(d*x+c)+7/8/d*a^2/(a+b)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2*tanh(d*x+c)-3/8/d*a^3/(a+b)^3/b^2/(a*b)^(1/2)*arctan(tanh(d*x
+c)*b/(a*b)^(1/2))-5/4/d*a^2/(a+b)^3/b/(a*b)^(1/2)*arctan(tanh(d*x+c)*b/(a*b)^(1/2))-15/8/d*a/(a+b)^3/(a*b)^(1
/2)*arctan(tanh(d*x+c)*b/(a*b)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 1.89, size = 3354, normalized size = 23.29 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)^6/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/512*(3*a^5 + 25*a^4*b + 150*a^3*b^2 - 150*a^2*b^3 - 25*a*b^4 - 3*b^5)*arctan(1/2*((a + b)*e^(2*d*x + 2*c) +
a - b)/sqrt(a*b))/((a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4 + a^2*b^5)*sqrt(a*b)*d) + 1/512*(3*a^5 + 25*a^4*b + 150*a
^3*b^2 - 150*a^2*b^3 - 25*a*b^4 - 3*b^5)*arctan(1/2*((a + b)*e^(-2*d*x - 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/((a^5*b^2 +
3*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4 + a^2*b^5)*sqrt(a*b)*d) - 1/256*(3*a^6 + 30*a^5*b - 99*a^4*b^2 - 252*a^3*b^3 - 99*a^2*b^
4 + 30*a*b^5 + 3*b^6 + (3*a^6 + 28*a^5*b - 465*a^4*b^2 + 465*a^2*b^4 - 28*a*b^5 - 3*b^6)*e^(6*d*x + 6*c) + (9*
a^6 + 66*a^5*b - 905*a^4*b^2 + 1148*a^3*b^3 - 905*a^2*b^4 + 66*a*b^5 + 9*b^6)*e^(4*d*x + 4*c) + (9*a^6 + 68*a^
5*b - 659*a^4*b^2 + 659*a^2*b^4 - 68*a*b^5 - 9*b^6)*e^(2*d*x + 2*c))/((a^7*b^2 + 5*a^6*b^3 + 10*a^5*b^4 + 10*a
^4*b^5 + 5*a^3*b^6 + a^2*b^7 + (a^7*b^2 + 5*a^6*b^3 + 10*a^5*b^4 + 10*a^4*b^5 + 5*a^3*b^6 + a^2*b^7)*e^(8*d*x
+ 8*c) + 4*(a^7*b^2 + 3*a^6*b^3 + 2*a^5*b^4 - 2*a^4*b^5 - 3*a^3*b^6 - a^2*b^7)*e^(6*d*x + 6*c) + 2*(3*a^7*b^2
+ 7*a^6*b^3 + 6*a^5*b^4 + 6*a^4*b^5 + 7*a^3*b^6 + 3*a^2*b^7)*e^(4*d*x + 4*c) + 4*(a^7*b^2 + 3*a^6*b^3 + 2*a^5*
b^4 - 2*a^4*b^5 - 3*a^3*b^6 - a^2*b^7)*e^(2*d*x + 2*c))*d) + 1/256*(3*a^6 + 30*a^5*b - 99*a^4*b^2 - 252*a^3*b^
3 - 99*a^2*b^4 + 30*a*b^5 + 3*b^6 + (9*a^6 + 68*a^5*b - 659*a^4*b^2 + 659*a^2*b^4 - 68*a*b^5 - 9*b^6)*e^(-2*d*
x - 2*c) + (9*a^6 + 66*a^5*b - 905*a^4*b^2 + 1148*a^3*b^3 - 905*a^2*b^4 + 66*a*b^5 + 9*b^6)*e^(-4*d*x - 4*c) +
(3*a^6 + 28*a^5*b - 465*a^4*b^2 + 465*a^2*b^4 - 28*a*b^5 - 3*b^6)*e^(-6*d*x - 6*c))/((a^7*b^2 + 5*a^6*b^3 + 1
0*a^5*b^4 + 10*a^4*b^5 + 5*a^3*b^6 + a^2*b^7 + 4*(a^7*b^2 + 3*a^6*b^3 + 2*a^5*b^4 - 2*a^4*b^5 - 3*a^3*b^6 - a^
2*b^7)*e^(-2*d*x - 2*c) + 2*(3*a^7*b^2 + 7*a^6*b^3 + 6*a^5*b^4 + 6*a^4*b^5 + 7*a^3*b^6 + 3*a^2*b^7)*e^(-4*d*x
- 4*c) + 4*(a^7*b^2 + 3*a^6*b^3 + 2*a^5*b^4 - 2*a^4*b^5 - 3*a^3*b^6 - a^2*b^7)*e^(-6*d*x - 6*c) + (a^7*b^2 + 5
*a^6*b^3 + 10*a^5*b^4 + 10*a^4*b^5 + 5*a^3*b^6 + a^2*b^7)*e^(-8*d*x - 8*c))*d) - 3/128*(3*a^5 + 17*a^4*b + 14*
a^3*b^2 - 14*a^2*b^3 - 17*a*b^4 - 3*b^5 + (3*a^5 + 15*a^4*b - 98*a^3*b^2 - 98*a^2*b^3 + 15*a*b^4 + 3*b^5)*e^(6
*d*x + 6*c) + (9*a^5 + 27*a^4*b - 110*a^3*b^2 + 110*a^2*b^3 - 27*a*b^4 - 9*b^5)*e^(4*d*x + 4*c) + (9*a^5 + 29*
a^4*b - 86*a^3*b^2 - 86*a^2*b^3 + 29*a*b^4 + 9*b^5)*e^(2*d*x + 2*c))/((a^6*b^2 + 4*a^5*b^3 + 6*a^4*b^4 + 4*a^3
*b^5 + a^2*b^6 + (a^6*b^2 + 4*a^5*b^3 + 6*a^4*b^4 + 4*a^3*b^5 + a^2*b^6)*e^(8*d*x + 8*c) + 4*(a^6*b^2 + 2*a^5*
b^3 - 2*a^3*b^5 - a^2*b^6)*e^(6*d*x + 6*c) + 2*(3*a^6*b^2 + 4*a^5*b^3 + 2*a^4*b^4 + 4*a^3*b^5 + 3*a^2*b^6)*e^(
4*d*x + 4*c) + 4*(a^6*b^2 + 2*a^5*b^3 - 2*a^3*b^5 - a^2*b^6)*e^(2*d*x + 2*c))*d) + 3/128*(3*a^5 + 17*a^4*b + 1
4*a^3*b^2 - 14*a^2*b^3 - 17*a*b^4 - 3*b^5 + (9*a^5 + 29*a^4*b - 86*a^3*b^2 - 86*a^2*b^3 + 29*a*b^4 + 9*b^5)*e^
(-2*d*x - 2*c) + (9*a^5 + 27*a^4*b - 110*a^3*b^2 + 110*a^2*b^3 - 27*a*b^4 - 9*b^5)*e^(-4*d*x - 4*c) + (3*a^5 +
15*a^4*b - 98*a^3*b^2 - 98*a^2*b^3 + 15*a*b^4 + 3*b^5)*e^(-6*d*x - 6*c))/((a^6*b^2 + 4*a^5*b^3 + 6*a^4*b^4 +
4*a^3*b^5 + a^2*b^6 + 4*(a^6*b^2 + 2*a^5*b^3 - 2*a^3*b^5 - a^2*b^6)*e^(-2*d*x - 2*c) + 2*(3*a^6*b^2 + 4*a^5*b^
3 + 2*a^4*b^4 + 4*a^3*b^5 + 3*a^2*b^6)*e^(-4*d*x - 4*c) + 4*(a^6*b^2 + 2*a^5*b^3 - 2*a^3*b^5 - a^2*b^6)*e^(-6*
d*x - 6*c) + (a^6*b^2 + 4*a^5*b^3 + 6*a^4*b^4 + 4*a^3*b^5 + a^2*b^6)*e^(-8*d*x - 8*c))*d) - 15/256*(3*a^4 + 8*
a^3*b + 10*a^2*b^2 + 8*a*b^3 + 3*b^4 + 3*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*e^(6*d*x + 6*c) + (9*a^4 + 46*a^2*b^2
+ 9*b^4)*e^(4*d*x + 4*c) + (9*a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - 9*b^4)*e^(2*d*x + 2*c))/((a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 3*a^3
*b^4 + a^2*b^5 + (a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4 + a^2*b^5)*e^(8*d*x + 8*c) + 4*(a^5*b^2 + a^4*b^3 - a^3*b^4
- a^2*b^5)*e^(6*d*x + 6*c) + 2*(3*a^5*b^2 + a^4*b^3 + a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*e^(4*d*x + 4*c) + 4*(a^5*b^2 + a^4*
b^3 - a^3*b^4 - a^2*b^5)*e^(2*d*x + 2*c))*d) + 15/256*(3*a^4 + 8*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 8*a*b^3 + 3*b^4 + (9*a^4
+ 2*a^3*b - 2*a*b^3 - 9*b^4)*e^(-2*d*x - 2*c) + (9*a^4 + 46*a^2*b^2 + 9*b^4)*e^(-4*d*x - 4*c) + 3*(a^4 + 2*a^
3*b - 2*a*b^3 - b^4)*e^(-6*d*x - 6*c))/((a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4 + a^2*b^5 + 4*(a^5*b^2 + a^4*b^3 - a^
3*b^4 - a^2*b^5)*e^(-2*d*x - 2*c) + 2*(3*a^5*b^2 + a^4*b^3 + a^3*b^4 + 3*a^2*b^5)*e^(-4*d*x - 4*c) + 4*(a^5*b^
2 + a^4*b^3 - a^3*b^4 - a^2*b^5)*e^(-6*d*x - 6*c) + (a^5*b^2 + 3*a^4*b^3 + 3*a^3*b^4 + a^2*b^5)*e^(-8*d*x - 8*
c))*d) + 5/64*(3*a^3 + 3*a^2*b - 3*a*b^2 - 3*b^3 + (9*a^3 - 13*a^2*b - 13*a*b^2 + 9*b^3)*e^(-2*d*x - 2*c) + 3*
(3*a^3 - 5*a^2*b + 5*a*b^2 - 3*b^3)*e^(-4*d*x - 4*c) + (3*a^3 + a^2*b + a*b^2 + 3*b^3)*e^(-6*d*x - 6*c))/((a^4
*b^2 + 2*a^3*b^3 + a^2*b^4 + 4*(a^4*b^2 - a^2*b^4)*e^(-2*d*x - 2*c) + 2*(3*a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 + 3*a^2*b^4)*e^
(-4*d*x - 4*c) + 4*(a^4*b^2 - a^2*b^4)*e^(-6*d*x - 6*c) + (a^4*b^2 + 2*a^3*b^3 + a^2*b^4)*e^(-8*d*x - 8*c))*d)
+ 1/4*log((a + b)*e^(4*d*x + 4*c) + 2*(a - b)*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)/((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d) -
1/4*log(2*(a - b)*e^(-2*d*x - 2*c) + (a + b)*e^(-4*d*x - 4*c) + a + b)/((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*d) - 9
/256*(a^2 + 2*a*b + b^2)*arctan(1/2*((a + b)*e^(2*d*x + 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/(sqrt(a*b)*a^2*b^2*d) - 45/51
2*(a^2 - b^2)*arctan(1/2*((a + b)*e^(2*d*x + 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/(sqrt(a*b)*a^2*b^2*d) + 5/128*(3*a^2 - 2
*a*b + 3*b^2)*arctan(1/2*((a + b)*e^(-2*d*x - 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/(sqrt(a*b)*a^2*b^2*d) + 9/256*(a^2 + 2*
a*b + b^2)*arctan(1/2*((a + b)*e^(-2*d*x - 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/(sqrt(a*b)*a^2*b^2*d) + 45/512*(a^2 - b^2)
*arctan(1/2*((a + b)*e^(-2*d*x - 2*c) + a - b)/sqrt(a*b))/(sqrt(a*b)*a^2*b^2*d)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 0.92, size = 2669, normalized size = 18.53 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(c + d*x)^6/(a + b*tanh(c + d*x)^2)^3,x)

[Out]

log(tanh(c + d*x) + 1)/(2*a^3*d + 2*b^3*d + 6*a*b^2*d + 6*a^2*b*d) + ((tanh(c + d*x)^3*(9*a*b + 5*a^2))/(8*b*(
2*a*b + a^2 + b^2)) + (a*tanh(c + d*x)*(7*a*b + 3*a^2))/(8*b^2*(2*a*b + a^2 + b^2)))/(a^2*d + b^2*d*tanh(c + d
*x)^4 + 2*a*b*d*tanh(c + d*x)^2) - log(tanh(c + d*x) - 1)/(2*d*(a + b)^3) - (atan((((-a*b^5)^(1/2)*((tanh(c +
d*x)*(60*a^5*b + 9*a^6 + 64*b^6 + 225*a^2*b^4 + 300*a^3*b^3 + 190*a^4*b^2))/(32*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d^2 + 6*a^2
*b^5*d^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^4*b^3*d^2)) + (((224*a*b^10*d^2 + 1440*a^2*b^9*d^2 + 3936*a^3*b^8*d^2 + 5920*a^4*
b^7*d^2 + 5280*a^5*b^6*d^2 + 2784*a^6*b^5*d^2 + 800*a^7*b^4*d^2 + 96*a^8*b^3*d^2)/(64*(b^9*d^3 + 6*a*b^8*d^3 +
15*a^2*b^7*d^3 + 20*a^3*b^6*d^3 + 15*a^4*b^5*d^3 + 6*a^5*b^4*d^3 + a^6*b^3*d^3)) - (tanh(c + d*x)*(-a*b^5)^(1
/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2)*(256*b^12*d^2 + 1280*a*b^11*d^2 + 2304*a^2*b^10*d^2 + 1280*a^3*b^9*d^2 - 1280*a^
4*b^8*d^2 - 2304*a^5*b^7*d^2 - 1280*a^6*b^6*d^2 - 256*a^7*b^5*d^2))/(512*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*
a*b^7*d)*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d^2 + 6*a^2*b^5*d^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^4*b^3*d^2)))*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^
2 + 15*b^2))/(16*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)))*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2)*1i)/(16*(b^8*d + 3*
a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)) + ((-a*b^5)^(1/2)*((tanh(c + d*x)*(60*a^5*b + 9*a^6 + 64*b^6 + 225*a^2*b^4
+ 300*a^3*b^3 + 190*a^4*b^2))/(32*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d^2 + 6*a^2*b^5*d^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^4*b^3*d^2)) - ((
(224*a*b^10*d^2 + 1440*a^2*b^9*d^2 + 3936*a^3*b^8*d^2 + 5920*a^4*b^7*d^2 + 5280*a^5*b^6*d^2 + 2784*a^6*b^5*d^2
+ 800*a^7*b^4*d^2 + 96*a^8*b^3*d^2)/(64*(b^9*d^3 + 6*a*b^8*d^3 + 15*a^2*b^7*d^3 + 20*a^3*b^6*d^3 + 15*a^4*b^5
*d^3 + 6*a^5*b^4*d^3 + a^6*b^3*d^3)) + (tanh(c + d*x)*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2)*(256*b^12*d^2 +
1280*a*b^11*d^2 + 2304*a^2*b^10*d^2 + 1280*a^3*b^9*d^2 - 1280*a^4*b^8*d^2 - 2304*a^5*b^7*d^2 - 1280*a^6*b^6*d
^2 - 256*a^7*b^5*d^2))/(512*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d^2 + 6*a^2*b^5*d
^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^4*b^3*d^2)))*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2))/(16*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b
^5*d + 3*a*b^7*d)))*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2)*1i)/(16*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)))/((120*a*
b^4 + 51*a^4*b + 9*a^5 + 185*a^2*b^3 + 139*a^3*b^2)/(32*(b^9*d^3 + 6*a*b^8*d^3 + 15*a^2*b^7*d^3 + 20*a^3*b^6*d
^3 + 15*a^4*b^5*d^3 + 6*a^5*b^4*d^3 + a^6*b^3*d^3)) - ((-a*b^5)^(1/2)*((tanh(c + d*x)*(60*a^5*b + 9*a^6 + 64*b
^6 + 225*a^2*b^4 + 300*a^3*b^3 + 190*a^4*b^2))/(32*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d^2 + 6*a^2*b^5*d^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^
4*b^3*d^2)) + (((224*a*b^10*d^2 + 1440*a^2*b^9*d^2 + 3936*a^3*b^8*d^2 + 5920*a^4*b^7*d^2 + 5280*a^5*b^6*d^2 +
2784*a^6*b^5*d^2 + 800*a^7*b^4*d^2 + 96*a^8*b^3*d^2)/(64*(b^9*d^3 + 6*a*b^8*d^3 + 15*a^2*b^7*d^3 + 20*a^3*b^6*
d^3 + 15*a^4*b^5*d^3 + 6*a^5*b^4*d^3 + a^6*b^3*d^3)) - (tanh(c + d*x)*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2)
*(256*b^12*d^2 + 1280*a*b^11*d^2 + 2304*a^2*b^10*d^2 + 1280*a^3*b^9*d^2 - 1280*a^4*b^8*d^2 - 2304*a^5*b^7*d^2
- 1280*a^6*b^6*d^2 - 256*a^7*b^5*d^2))/(512*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d
^2 + 6*a^2*b^5*d^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^4*b^3*d^2)))*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2))/(16*(b^8*d + 3*a
^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)))*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2))/(16*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*
d)) + ((-a*b^5)^(1/2)*((tanh(c + d*x)*(60*a^5*b + 9*a^6 + 64*b^6 + 225*a^2*b^4 + 300*a^3*b^3 + 190*a^4*b^2))/(
32*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d^2 + 6*a^2*b^5*d^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^4*b^3*d^2)) - (((224*a*b^10*d^2 + 1440*a^2*b^9*d
^2 + 3936*a^3*b^8*d^2 + 5920*a^4*b^7*d^2 + 5280*a^5*b^6*d^2 + 2784*a^6*b^5*d^2 + 800*a^7*b^4*d^2 + 96*a^8*b^3*
d^2)/(64*(b^9*d^3 + 6*a*b^8*d^3 + 15*a^2*b^7*d^3 + 20*a^3*b^6*d^3 + 15*a^4*b^5*d^3 + 6*a^5*b^4*d^3 + a^6*b^3*d
^3)) + (tanh(c + d*x)*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2)*(256*b^12*d^2 + 1280*a*b^11*d^2 + 2304*a^2*b^10
*d^2 + 1280*a^3*b^9*d^2 - 1280*a^4*b^8*d^2 - 2304*a^5*b^7*d^2 - 1280*a^6*b^6*d^2 - 256*a^7*b^5*d^2))/(512*(b^8
*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)*(b^7*d^2 + 4*a*b^6*d^2 + 6*a^2*b^5*d^2 + 4*a^3*b^4*d^2 + a^4*b^3*d^2
)))*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2))/(16*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d)))*(10*a*b + 3*
a^2 + 15*b^2))/(16*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d))))*(-a*b^5)^(1/2)*(10*a*b + 3*a^2 + 15*b^2)*1
i)/(8*(b^8*d + 3*a^2*b^6*d + a^3*b^5*d + 3*a*b^7*d))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(d*x+c)**6/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________